Fractales, el infinito mental

7 Nov


La geometría y la costa de Inglaterra
(El pasado 14 de octubre fallecio Benoît Mandelbrot, inventor de la geometria fractal)

A partir de su estudio geométrico de lo rugoso y la búsqueda de una manera de medir la costa de Gran Bretaña, Benoît Mandelbrot renovó la geometría. A veinte días de su muerte, en esta nota se repasa la importancia de los fractales y sus logros epistemológicos.
Por Denisse Sciamarella y Matias Alinovi


Benoît Mandelbrot (1924-2010).
No vamos a escribir que el texto de este artículo debería estar cifrado –¿de qué modo?– en cada oración, y que cada oración debería estar cifrada –¿de qué modo?– en cada palabra, porque eso sería ceder a la ilusión de la elocuencia de las formas. El pasado 14 de octubre murió Benoît Mandelbrot, que creyó reconocer en las formas naturales –en la forma de una hoja, en el perfil de las montañas, en las costas y las nubes– una regularidad a través de las escalas, la exhaustiva repetición de patrones geométricos.

Había nacido en Varsovia, pero vivió en Suiza, en Francia y en los Estados Unidos, donde murió. René Thom, un matemático francés, se quejó, alguna vez, del predominio del álgebra por sobre la geometría y reivindicaba el continuo como objeto de estudio. Mandelbrot se quejaba del prestigio de la continuidad, e impulsaba el estudio geométrico de lo rugoso. Si la naturaleza es siempre rugosa y nunca lisa, lo que proponía era abandonar las abstracciones de la geometría euclideana y enfrentar la complejidad de las formas naturales. Perseveró esencialmente solo en esa convicción, e inventó una nueva geometría: la geometría fractal.

Mandelbrot acuñó además el término fractal, que lo sobrevivirá largamente. ¿Qué es un fractal? Un objeto matemático que tiene ciertas propiedades, entre las que se destacan dos: el hecho de poseer detalle en cualquier escala de observación –se trata, en ese sentido, de un objeto inagotable– y el de que ese detalle es siempre el mismo, o por lo menos parecido. Esas dos propiedades suelen denominarse invariancia de escala y autosemejanza. La semejanza puede no ser exacta, sino aproximada o estadística. Con alguna afectación, Borges abominaba de los espejos. La autosemejanza es, de algún modo, un espejo frente a sí mismo, y atravesar las escalas para ver repetirse una y otra vez el mismo patrón es, sin duda, abominable.

¿LA COSTA INFINITA?

El primer artículo importante de Mandelbrot apareció en Science, en 1967. Allí consideraba el problema de medir la longitud de la costa de Gran Bretaña. Del asunto se había ocupado previamente Lewis Fry Richardson. El problema era conocido: medir una costa irregular con una vara cada vez menor es medir una costa cada vez mayor. En el límite de ese comportamiento está la conclusión inaudita de que la costa de Gran Bretaña es infinita. Mandelbrot constataba, una vez más, la relatividad de la medida respecto del patrón de medida. Pero esa relatividad, ¿qué nos dice? No saquemos la conclusión equivocada, que debemos evitar. No nos dice que todo es según el color del cristal con que se lo mira. Si ése fuese el caso, no habría, en ningún sentido, línea alguna para medir, puesto que la línea para medir sería resultado de un acto de invención por parte de la vara. Tampoco nos dice que la costa real sea infinita, porque la propiedad de que cada fragmento de costa se parece al todo tiene un límite a una escala lo suficientemente pequeña. En otros términos, la cuestión no afecta la ontología del mundo. Más bien, lo que hay allí es un problema epistemológico: ¿cómo sabemos cuánto mide la costa de Gran Bretaña? El hallazgo de Mandelbrot nos pone en la pista de una propiedad física del mundo que se expresa en el estudio de la dimensión geométrica.

La solución de Mandelbrot fue genialmente osada. Interpretó los resultados de Richardson en términos de autosemejanza y estableció que la costa de Gran Bretaña era un objeto de dimensión no entera. Es decir, si la línea tiene dimensión 1 y el plano dimensión 2, la costa occidental de Gran Bretaña tiene, precisamente, una dimensión de 1,25. En el cálculo de esa dimensión la autosemejanza no es exacta –Gran Bretaña es todo menos un objeto geométrico ideal– sino estadística. En promedio, todos los tramos de la costa se parecen, cualquiera sea el aumento de la lupa con la que se la mire, hasta un cierto nivel de aumento. Pero Mandelbrot prosiguió con el estudio de objetos geométricos que sí eran estrictamente autosemejantes.

RELEVANCIA FRACTAL

La novedad estuvo pues en alterar el concepto tradicional de dimensión. Por eso un periódico francés tituló la noticia de la muerte de Mandelbrot: “Benoît Mandelbrot cambia de dimensión”. La dimensión no entera es la clave del fractal, del zoom que reproduce la misma foto una y otra vez, de la puesta en abismo de las formas artísticas. Y es también la clave del fin de la sinécdoque, la figura retórica de la parte por el todo, puesto que la parte y el todo coinciden.

¿Es tan amplia como parece la relevancia de los fractales? La respuesta es que sí. Los fractales tienen, por qué negarlo, algo de juego de ingenio. En ese sentido forman parte de un concepto amable para la divulgación. Pero el hallazgo de Mandelbrot, que es abstracto, se aplica con fluidez a las ciencias naturales. El hecho de que la naturaleza se exprese en formas rugosas, y nunca en formas suavizadas artificialmente, no debe inducirnos a pensar que la geometría fractal no se construye en el pensamiento a través de la imaginación de cuerpos perfectos y del estudio de sus propiedades. Los fractales no son menos artificiales que los triángulos, son solamente más complejos. El punto de partida para la construcción del copo de nieve, que es un ejemplo clásico de fractal, es justamente el triángulo. Todo lo que la matemática toca es ideal y, en ese sentido, artificial.

¿De dónde proviene, pues, esa fecundidad del concepto de fractal para dar cuenta de algunos procesos o formas naturales? En la naturaleza no se dan las formas fractales por la misma razón que no se da el infinito. ¿Qué hay infinito en la naturaleza? ¿La arena de los mares? No hay nada infinito en la naturaleza. El infinito empírico no existe. El concepto es pura abstracción conceptual, teórica. No obstante, sí se dan formas que se aproximan más a los fractales que a los triángulos, digamos. La forma de las nubes, de las montañas, de las hojas, de las costas están mejor aproximadas por los fractales que por los objetos de la geometría euclideana.

La pregunta es por qué. Por toda respuesta algunos invocan el afán de optimización de la naturaleza. Los objetos generados con instrucciones que se repiten, hasta un cierto punto de corte –el infinito es inalcanzable–, suelen maximizar alguna propiedad. Por ejemplo, los intercambios de un volumen con el exterior se hacen a través de una superficie. De aquí el interés práctico de la fractalidad geométrica, que indica una receta para generar una superficie muy grande que encierre un volumen acotado. Los pulmones tienen una estructura de ese tipo. Esa estructura optimiza los intercambios de la sangre con el aire. Otro tanto sucede con las esponjas naturales. En el árbol, la justificación del carácter fractal puede atribuirse a una optimización de la captación de la energía luminosa y de los intercambios con la atmósfera.

Tomemos una aplicación del concepto de fractalidad a la farmacología. Si un medicamento actúa en volumen, la dosis deberá ser proporcional al peso, es decir, directamente proporcional al volumen. Si, en cambio, la droga actúa sobre el intercambio con el aire inspirado, la dosis crece como la superficie fractal del pulmón. En medicina veterinaria esas reglas son importantes cuando se trata de administrar un medicamento a un elefante: una dosis a partir de la masa podría resultar catastrófica en una medicación destinada a curar la tos.

¿Cuánta geometría convencional hay en la geometría fractal? Mucha. La geometría no convencional se hace, hasta cierto punto, con geometría convencional. No convencional significa aquí, simplemente, nueva. Y la novedad está cifrada en la posibilidad de admitir –y de calcular, por supuesto– dimensiones no enteras.

¿En qué se convierte la geometría después de los fractales? Hay en Mandelbrot un desarrollo matemático inspirado por un hecho empírico, la rugosidad. El propio Mandelbrot lo admite. Pero aun las abstracciones más puras suelen tener algún tipo de base empírica. Es difícil trazar fronteras, y también es difícil convertir a la geometría en algo distinto de sí misma. Stricto sensu, y en honor a los fractales, habría que decir que la geometría, después de los fractales, se convierte en geometría.

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